Situação Problema: O Problema Dos Baldes

A seguinte situação problema, que já apliquei em salas de 5os e 6os anos com bons resultados (além de outras turmas do Ensino Fundamental), envolve o exercício da competência argumentativa, sendo também um problema que privilegia o uso e desenvolvimento das capacidades de concentração e organização do pensamento do aluno. Em sua essência, pelo fato da possibilidade de se construir várias soluções para obter o mesmo resultado, todos os alunos podem atuar no sentido de buscar suas próprias soluções.

Problema:

Suponha que tenho dois baldes, com capacidades para 3L e 2L de água respectivamente, quando cheios até à borda, conforme figura a seguir:

Além disso, suponha que não há à disposição qualquer instrumento para fazer a medição do volume de água no balde bem como os mesmos não possuem nenhuma demarcação que permita às pessoas lerem qualquer valor do volume de água em seu interior.

Assim, partindo do princípio que são conhecidas apenas as medidas dos volumes de água em cada balde somente quando os mesmos estão completamente cheios (3L e 2L respectivamente) e que existe água à vontade, encontre uma maneira de obter o volume de 1 litro de água em um dos baldes. Ou seja, a situação problema que propomos é a de encher um balde com um volume de água previamente especificado (1 Litro no nosso caso), dado que nos recipientes não existem nenhum tipo de marcação que permita determinar qualquer volume de água intermediário nos mesmos.

No que concerne à aplicação dessa tarefa em sala de aula, o objetivo é utilizar a estratégia de buscar soluções por meio de argumentações justificadas. Nesse sentido, podemos dizer que esse problema de Matemática se distingue daqueles que envolvem cálculos aritméticos somente, e os aproximam de um característico jogo matemático, pois baseia-se em regras fixas para a produção de um resultado.

A seguir, propomos uma possível solução ou modo de se obter o volume desejado. Observe que todas as passagens que indicamos garantem que ao final haverá exatamente 1L de água em um dos baldes.

Solução:

1)      Comecemos com os dois baldes vazios

2)      Encha o balde menor por completo.

3)      Passe toda estes dois litros de água para o balde maior, conforme figura a seguir.

4)      Encha o balde menor novamente, obtendo a configuração a seguir, ou seja, o balde maior que já estava com dois litros e o menor, agora também com 2 litros.

5)      Transfira a água do balde menor para o maior, até completá-lo. Observe que após esse procedimento, o maior ficará cheio até sua capacidade total e restará 1L no balde menor, conforme ilustramos a seguir.

 

Pronto! Todo esse procedimento de manipular água de um balde para outro nos garantiu que colocássemos exatamente 1L de água em um dos baldes.

Estratégia de aplicação em Sala de Aula

Semelhantemente à ideia proposta para aplicação do jogo Torre de Hanói, oferecemos uma estratégia de aplicação dessa atividade em sala de aula. Analogamente à metodologia do jogo Torre de Hanói, a meta estabelecer um espaço de diálogo em sala de aula, bem como um ambiente de argumentações justificados. Tudo isso, visando promover o desenvolvimento da competência argumentativa em sala de aula de Matemática.

1)      Inicialmente, o professor pode dialogar com os alunos sobre esse problema explicitando as regras do jogo e convidando-os a proporem soluções.

2)      Pela minha experiência, todas as vezes que propus essa situação para várias turmas de 5º e 6º anos principalmente, obtive outras soluções perfeitamente válidas. Portanto, acho interessante passar um tempo discutindo esse problema com os alunos para que amadureçam ideias para a produção de soluções.

3)      Proponha a solução (ou outra que quiser) que descrevemos na lousa,  para que os alunos tenham uma noção global de como solucionar o problema. Fazendo-os entender que todos os passos são perfeitamente precisos, garantindo o resultado.

4)      Como proposta de trabalho, você professor, pode pedir que os alunos pensem um pouco no sentido de conseguir outras soluções ou que procurem uma outra que possibilite o mesmo resultado, porém em menos passos que o explicitado na lousa.

5)      No sentido do passo 4, o professor pode estimular uma competição entre os alunos.

6)      Estimule que o processo de resolução seja acompanhado do respectivo registro, na forma de figuras ou outra forma que o aluno quiser, para que os colegas possam compartilhar da solução que ele encontrou.

Agora, para terminar esse artigo, vamos repetir esse problema, porém para dois baldes com capacidades para 7L e 4L respectivamente. O objetivo agora é obter a medida de 6L em um deles.

Solução:

1)      Inicialmente temos os baldes vazios

2)      Encha o balde menor por completo, garantindo que tenha 4 litros, exatamente, de água no mesmo.

3)      Agora, transfira toda a água do balde menor para o maior. Observe que o maior estará com 4L e o outro ficará vazio, conforme ilustração a seguir.

 

4)      Encha novamente o balde menor. Observe que agora os dois baldes terá exatamente 4L de água.

5)      Passe o volume de água do balde menor para o maior, até completa-lo. Observe que após esse procedimento, um balde estará completamente cheio e no menor restará 1L, conforme demonstramos a seguir.

 

 

6)      Jogue fora toda a água do balde maior e, a seguir, transfira aquele 1L de água do balde menor para o maior, obtendo a configuração a seguir.

 

7)      Lembrando que você tem água à vontade, encha novamente o balde menor até completá-lo e transfira essa água para o outro balde. Observe que o menor ficará vazio e o maior com 5L.

8)      Encha novamente o balde menor e transfira essa quantidade para o balde maior, até completa-lo. Assim, o balde maior ficará completo e no menor restará 2 litros de água, conforme ilustramos a seguir.

9)      Esvazie o balde maior e transfira o volume de 2L do menor para ele.

 

10)    Por fim, encha novamente o balde menor que ficou vazio após a operação anterior e transfira todo esse volume para o balde menor. Observe que após esse feito, os 2L de água que havia somados aos 4L de água que serão transferidos, obtemos a medida de 6L que queríamos.

About The Author

Valter Magalhães

Valter Magalhães é Professor e Mestre em Educação Matemática pelo IME / USP.

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